2.2 一致连续

1．若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 一致连续的充要条件是 $\displaystyle f(a+0)$ 与 $\displaystyle f(b-0)$存在。湖南师大 2012，昆明理工 2007，南昌大学 2002，青岛科技 2011，矿业大学 2011，地质大学 2004，天津大学 2003，浙江师大 2010，天津工大 2005，华东理工 2001／2004，山东大学 1981，南开大学 1984，北京交大 2011 ，大连海事 2003，西安电子科技 2006，华侨大学 2009，东北大学 2007／1999／1997，西安交大 1998，郑州大学 2003，首都师大 2002／2001，深圳大学 2008，东华大学 2001）

2．证明下列结论．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续单调有界，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在有限区间 $\displaystyle (a, b)$ 内一致连续，则可补充定义 $\displaystyle f(a)$ 利 $\displaystyle f(b)$ ，使得 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在有穷区间 $\displaystyle (a, b)$ 内一致连续，证明：（1）$\displaystyle f(a+0)$ 与 $\displaystyle f(b-0)$ 存在；（2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$内有界。当 $\displaystyle (a, b)$ 为无限区间时，结论成立吗？
（4）设 $\displaystyle a<b, c<d$ 均为实数，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上单调，值域为 $\displaystyle (c, d)$ 。证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在有限开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{\cdot}} f^{\prime}(x), ~ \lim _{x \rightarrow b^{b}} f^{\prime}(x)$ 存在且有限。证明： （1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x), \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)$ 存在且有限；（2）$\displaystyle f(x)$ 在有限开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内一致连续且有界。聊城大学 2009 ，北京师大）
（6）若 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 中无界，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上不一致连续．

3．讨论或证明函数的一致连续性。
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 的导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上有界，试讨论 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上的有界性和一致连续性。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内可微，且存在 $\displaystyle M>0$ ，使得 $\displaystyle \forall x \in(0,1)$ ， $\displaystyle \left|x f^{\prime}(x)-f(x)\right|<x^{2} M$ 。证明：（1）$\displaystyle \frac{f(x)}{x}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内一致连续；（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{\circ}} f^{\prime}(x)$ 存在。华中师大2009）

4．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上可导，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有界。证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上一致连续； （2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ 存在，但 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ 不一定存在；（3）若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ ，则 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上至少有一个零点．
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left|f^{\prime}(x)\right|=\lambda$（常数或 $\displaystyle +\infty$ ），则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 一致连续的充要条件是 $\displaystyle \lambda$ 为常数．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有连续的导函数， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)$ 存在。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上可导．若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=+\infty$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上非一致连续．

5．证明下列结论．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 在有限开区间 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续，则 $\displaystyle f(x) g(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续．试举例说明把＂有限开区间＂的有限去掉，结论不成立．
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上一致连续且有界，则 $\displaystyle f(x) g(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上一致连续．
（3）若函数 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续，问函数 $\displaystyle f(x) g(x), \max \{f(x), g(x)\}$ ， $\displaystyle \min \{f(x), g(x)\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上是否一致连续？（证明或举例）．
（4）若函数 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 十一致连续，问 $\displaystyle f(x)+g(x), f(x) g(x), \frac{f(x)}{g(x)}(\forall x \in I, g(x) \neq 0)$在 $\displaystyle I$ 上是否一致连续？
（5）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续，问 $\displaystyle f^{2}(x), \sqrt{f(x)}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续吗？证明或举反例．

6．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上满足 Lipschitz 条件，即存在常数 $\displaystyle m>0$ ，使对 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上任意两点 $\displaystyle x^{\prime}, x^{\prime \prime}$都有 $\displaystyle \left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right| \leqslant m\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|$ ．证明 $\displaystyle f\left(x^{\alpha}\right),(\alpha \in(0,1))$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上具有连续的导函数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)$ 存在有限， $\displaystyle 0<\alpha<1$ ，是一个常数．证明 $\displaystyle f\left(x^{\alpha}\right)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（3）设 $\displaystyle p$ 为正常数，$\displaystyle f(x)=\cos x^{p}$ 。证明：当 $\displaystyle 0<p \leqslant 1$ 时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续．
（4）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty) \rightarrow(0,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle \alpha \in(0,1)$ ，则 $\displaystyle f^{\alpha}(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（5）设 $\displaystyle g: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ 为连续函数，$\displaystyle f(x)=g(\sin x)$ 。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上一致连续．
（6）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 一致连续，值域含于 $\displaystyle (c, d), g(x)$ 在 $\displaystyle (c, d)$ 日：一致连续，则 $\displaystyle g(f(x))$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续．
（7）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 上连续，且 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \mu$ ．问 $\displaystyle F(x)=f(\sin x)$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 是否一致连续？

（8）设 $\displaystyle f(x)=\sin \sqrt{x}$ ，判断 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上是否一致连续，并给出证明．
（9）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上连续．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续，则 $\displaystyle \sin ^{3}|f(x)|$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续．
（2）若 $\displaystyle |f(x)|$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续，则 $\displaystyle \sin ^{3}(f(x))$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续．

7．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f \in C(-\infty,+\infty)$ 且为周期函数，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续，并证明 $\displaystyle \cos x^{2}$ 不是周期函数．
（2）证明：$\displaystyle f(x)=\cos x$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle f(x)=\cos x^{2}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上非一致连续．

8．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上连续，可导，并且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt{x} f^{\prime}(x)=a$ 存在且有限。求证 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上一致连续．
（2）设 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上连续，存在有限极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\alpha} f^{\prime}(x)(\alpha \in(0,1))$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上一致连续．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 可导，并且 $\displaystyle \sqrt{x} f^{\prime}(x)$ 存在且有界。求证：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续； （2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)$ 存在；（3）若将条件＂$\displaystyle \sqrt{x} f^{\prime}(x)$ 存在且有界＂改为＂ $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt{x} f^{\prime}(x), \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x} f^{\prime}(x)$ 存在＂，试问还能否推出 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续。若肯定请证明，若否定请举例说明．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 可导，并且 $\displaystyle 0<\alpha<1, \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{\alpha} f^{\prime}(x)=a$ 。求证 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 内连续，$\displaystyle \sqrt{x} f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 内有界，记 $\displaystyle g(x)=\int_{\frac{1}{2}}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ．证明 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内一致连续．

9．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在（有限）证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续；（2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有界，讨论 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上的最值；（3）逆命题＂$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在＂是否成立？（请给出证明或反例）．

10．证明下列函数在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 一致连续．
（1）$\displaystyle f(x)=\frac{x^{314}}{\mathrm{e}^{x}}$ ．（2）$\displaystyle f(x)=x \mathrm{e}^{-x^{2}} \int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t$ ．

11．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ 存在（或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x), \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在）证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续；反之成立吗？试证之，否则，请举出反例。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上连续，求证：如果 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ 和 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 都存在（有限），那么函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上一致连续。问：逆命题是否成立？如成立，请证明之；否则，请举反例．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上连续，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上是否一致连续？若是请证明，若不是，请举反倒．讨论对 $\displaystyle f(x)$ 加什么条件能使 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 一致连续．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续并且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A, \lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=B$ ，求证 $\displaystyle f(x) g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$上一致连续．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续并且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ 存在。令 $\displaystyle g(x)=f(x)+\sin ^{2} x$ 。证明 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续。

12．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-\varphi(x)]=0$ 。证明 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续。重庆大学 2012，南京师大 2012，安徽大学 2010，夏门大学 2009，湘潭大学 2008 ，浙江大学 2003 ，中山大学 2002 ，上海交大 2002 ，华南师大 $\displaystyle 2010 / 2008$ ，桂林电子科技 2007 ，北京交大 1998 ，北京科技 2006，华东理工 2000，华南理工 2001，兰州大学 2005，太原理工 2006，西北大学 2010，华中科技 1997）
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-c x-d]=0$ ．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．
（3）设 $\displaystyle f \in C[a,+\infty)$ ，且当 $\displaystyle x \rightarrow+\infty$ 时 $\displaystyle y=a x+b$ 是 $\displaystyle y=f(x)$ 的渐近线．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．
（4）设 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\varphi(x)-\frac{x^{2005}}{\mathrm{e}^{x}}\right)=0$ ．证明 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x}(f(x)-k \sqrt{x})=0$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．
（6）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，且导函数有界，函数 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x[f(x)-g(x)]=2011$ ．证明 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．

13．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A, g(x), g^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有界。求证 $\displaystyle f(x) g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内的连续函数， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{\prime}} f(x)=+\infty, \lim _{x \rightarrow+x} f(x)=0$ ．试证：（1）$\displaystyle f(x) \sin \frac{1}{x}$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)(a>0)$ 内一致连续；（2）$\displaystyle f(x) \sin \frac{1}{x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内非一致连续。南京师大 2007）
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续且有界，讨论 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内一致连续．

14．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续，且对任意的 $\displaystyle x \geqslant 0$ ，有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} g(x+n)=A$ ．试证 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=A$ ．
（2）设 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续，且对任意的 $\displaystyle \delta \geqslant 0$ ，有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} g(n \delta)=0$ 。试证 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \forall h>0, \lim _{n \rightarrow \infty} f(n h)$ 收敛，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续当且仅当 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} f(x)$ 存在．

15．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续，证明存在正数 $\displaystyle a, b$ ，对 $\displaystyle \forall x \in(-\infty,+\infty)$ ，有 $\displaystyle |f(x)| \leqslant a|x|+b$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上满足利普希茨条件 $\displaystyle (a>0)$ ．证明 $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{x}$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有界，并且一致连续．

16．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上有定义。试证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上一致连续的充要条件是对区间 $\displaystyle I$上任意的两数列 $\displaystyle \left\{x_{n}^{\prime}\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{x_{n}^{\prime \prime}\right\}$ ，当 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}^{\prime}-x_{n}^{\prime \prime}\right)=0$ 时，有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[f\left(x_{n}^{\prime}\right)-f\left(x_{n}^{\prime \prime}\right)\right]=0$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在有限区间 $\displaystyle I$ 上连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续的充要条件是 $\displaystyle f(x)$ 把 Cauchy 序列映射为 Cauchy 序列（即当 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 为 Cauchy 序列时，$\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ 也为 Cauchy 序列）。
（3）（I）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n+1}-a_{n}\right|=0$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left|f\left(a_{n+1}\right)-f\left(a_{n}\right)\right|=0$ ．
（II）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上非一致连续，证明存在数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n+1}-a_{n}\right|=0$ ，但 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left|f\left(a_{n+1}\right)-f\left(a_{n}\right)\right|$ 不趋于 0 ．
（4）若对于 $\displaystyle f(x)$ 定义域 $\displaystyle (a, b)$ 中任一收敛数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}, \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)$ 都存在，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (a, b)$ 连续，$\displaystyle f(x) \neq 0, x \in(a, b)$ ，且对任意数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \in I$ ，数列 $\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ 都收敛且极限不为零，证明：（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x), \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)$ 存在， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x) \cdot \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)>0$ ；（2）存在 $\displaystyle C>0$ ，使 $\displaystyle \left|\frac{1}{f(x)}\right| \leqslant C$ ．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续，数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \in I$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)$ 存在．若 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上连续，结论还成立吗？

17．证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续的充分必要条件是：对 $\displaystyle \forall \varepsilon>0, \exists M>0$ ，使得当 $\displaystyle x, y \in I, x \neq y$ 且 $\displaystyle \left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|>M$ 时，有 $\displaystyle |f(x)-f(y)|<\varepsilon$ 。

18．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可微。试证：$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续的充要条件是 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致可微，即 $\displaystyle \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$ ，当 $\displaystyle 0<|h|<\delta$ 时，有 $\displaystyle \left|\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f^{\prime}(x)\right|<\varepsilon$ 对一切 $\displaystyle x \in[a, b]$ 成立．

19．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)=x^{\lambda}, \lambda>0$ ，证明：当 $\displaystyle 0<\lambda \leqslant 1$ 时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续。当 $\displaystyle \lambda>1$ 时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续．
（2）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sqrt{x}$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 或 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（3）证明：$\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上一致连续．
（4）设 $\displaystyle f(x)=x^{2}$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续；（2）证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 或 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 非一致连续．
（5）设 $\displaystyle f(x)=x^{2}+2 x+1$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a](a>0)$ 上一致连续；（2）证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上非一致连续．

20．证明下列结论。
（1）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)(a>0)$ 上一致连续；（2）在 $\displaystyle (0,1)$ 或 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续；（3）在 $\displaystyle [a, 1](0<a<1)$ 上一致连续．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}}$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [\delta, 1](0<\delta<1)$ 上一致连续；（2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上非一致连续； （3）在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续但非一致连续．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上非一致连续，在 $\displaystyle (c, 1)(0<c<1)$ 上一致连续．

21．设 $\displaystyle p \geqslant 1$ ，试证：（1）函数 $\displaystyle f(x)=\sin \left(x^{-p}\right)$ 在 $\displaystyle [\delta, 1](0<\delta<1)$ 上一致连续；（2）函数 $\displaystyle f(x)=\sin \left(x^{-p}\right)$ 在开区间 $\displaystyle (0,1)$ 上非一致连续．

22．设 $\displaystyle f(x)=\sin \frac{1}{x}$ ，证明：
（1）在 $\displaystyle (0,1)$ 上非一致连续．
（2）在 $\displaystyle (a, b)(0<a<b<+\infty)$ 内一致连续．
（3）$\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续 $\displaystyle (a>0)$ ，在区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续．

23．证明：$\displaystyle f(x)=\cos \frac{1}{x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续，但在 $\displaystyle (a,+\infty)(a>0)$ 上一致连续．

24．设函数 $\displaystyle f(x)=\sin \frac{\pi}{x}, x \in(0,1)$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 连续。问 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 是否一致连续？（请说明理由）．

25．证明：（1）$\displaystyle f(x)=\sin x$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续；
（2）$\displaystyle g(x)=\sin x^{2}$ 在 $\displaystyle [0, A]$ 上一致连续，但在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 或 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上非一致连续；
（3）$\displaystyle h(x)=\cos x^{2}$ 在有限区间 $\displaystyle [0, b]$ 上一致连续，在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上非一致连续．

26．讨论 $\displaystyle f(x)=x \sin \frac{1}{x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的一致连续性．

27．用一致连续函数的定义证明：函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}$ 在区间 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上一致连续，而在区间 $\displaystyle (0, a)$ 上非一致连续 $\displaystyle (a>0)$ 。北京交大 2009）

28．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x} \sin \frac{\pi}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上一致连续；（2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上非一致连续．

29．证明下列结论。
（1）$\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 在 $\displaystyle (0, \pi)$ ：一致连续．
（2）$\displaystyle f(x)=\frac{|\sin x|}{x}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 与 $\displaystyle (-1,0)$ 上均一致连续，但在 $\displaystyle (-1,0) \cup(0,1)$ 上非一致连续．
（

30．证明下列函数在指定区间非一致连续．
（1）$\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{x} \cos \frac{1}{x}, x \in(0,1)$ 。
（2）$\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{x}, x \in(-\infty,+\infty)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\tan x, x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \cdot$

31．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x+1} \sin \frac{1}{x},(a>0)$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，在 $\displaystyle (0, a)$ 内非一致连续．（大连理工 2006，苏州科技 2008，计量学院 2011，兰州大学 1980，中北大学 2005（ $\displaystyle a=1$ ））
（2）设 $\displaystyle f(x)=\left(1+\frac{1}{x+1}\right) \cos \frac{1}{x},(a>0)$ 。证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．

32．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)=\ln x$ ，证明：（1）在 $\displaystyle (0,1)$ 及 $\displaystyle (0,+\infty)$ 非一致连续；（2）在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 一致连续
（2）证明：函数 $\displaystyle f(x)=x \ln x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续。武汉大学1992，首都师大2010）
（3）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sqrt{x} \ln x$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上一致连续．
（4）设 $\displaystyle \alpha>0$ ，试确定函数 $\displaystyle f(x)=x^{\alpha} \ln x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续的参数 $\displaystyle \alpha$ 的范围．
（5）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sqrt{x} \ln x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续。安徽大学 2009）
（6）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x} \ln x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续．

33．证明下列函数在指定区间内一致连续．
（1）$\displaystyle f(x)=x^{2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right), x \in[2,+\infty)$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right), x \in(0,+\infty)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\sqrt{x(x-1)}, x \in[1,+\infty)$ ．

34．证明下列结论．
（1）函数 $\displaystyle \omega_{f}(\delta)=\sup \left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|$（其中 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ 是 $\displaystyle (a, b)$ 中满足 $\displaystyle \left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta$ 的任意两点）称为函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上的连续模数。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续的充要条件为 $\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0^{+}} \omega_{f}(\delta)=0$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有界，证明： $\displaystyle \mathrm{e}^{f(x)}$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内一致连续当且仅当 $\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0^{\circ}} \omega(f, \delta)=0$ ，其中 $\displaystyle \omega(f, \delta)=\sup _{\substack{\left|x_{1}-x_{1}\right|<\delta \\ x_{1}, x_{2} \in(a, b)}}\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|$ 。

35．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续．将 $\displaystyle [a, b]$ 改为 $\displaystyle (a, b)$ ，结论是否还成立？说明理由．（河海大学 2006，北京大学 2008，扬州大学 2010，北京交大 2001，新疆大学 2006，东华大学 2000（用致密性定理））

36．用一致连续定义证明下列结论。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, c]$ 和 $\displaystyle [c, b)$ 上都一致连续，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上也一致连续．并举例说明将 $\displaystyle (a, c]$ 换成 $\displaystyle (a, c)$ 时，结论不一定成立。
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(x) \neq 0$ ，用定义证明：$\displaystyle \frac{1}{f(x)}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续．

37．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，则 $\displaystyle \Phi(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续．

38．判断题．
（1）区间 $\displaystyle I$ 上一致连续的函数总是有界的．